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\documentclass[11pt]{article} 

\input{wang_preamble.tex}

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%%文档的题目、作者与日期
%\author{王立庆（2019级数学与应用数学1班）}
\author{学号 \underline{\hspace{4cm}} 姓名  \underline{\hspace{4cm}} }
%\title{高等代数第六章：向量空间}
\title{高等代数二自测题解答 }
%\date{\vspace{-3ex}}
\renewcommand{\today}{\number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日}
\date{2023年6月6日}

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\begin{document}

\maketitle

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%\LARGE
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%\section{选择题}
\begin{enumerate}

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\item %1
设 $V$ 是实数域上的一个向量空间，下述哪个不是基本的八条公理之一？
\begin{enumerate}
\item 对任意向量 $\alpha\in V$ 都存在向量 $\beta\in V$ 使得 $\beta+\alpha$ 等于 $V$ 中的零向量。
\item 对任意向量 $\alpha,\beta\in V$, 都有 $\alpha+\beta=\beta+\alpha$. 
\item 对任意向量 $\alpha,\beta\in V$, 任意实数 $k$, 都有 $k(\alpha-\beta)=k\alpha-k\beta$. %不正确
\item 对任意向量 $\alpha$, 都有 $1\alpha=\alpha$, 其中的 $1$ 是实数 $1$. 
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c). 
 减法看作是求负向量运算与向量加法运算的复合，这个分配律不当做基本公理之一。

}

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\item %2
向量空间 $V=\mathbb{R}^3$ 的下述子集，哪个不是向量子空间？
\begin{enumerate}
\item 子集 $\{(x,x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}$.
\item 由向量组 $\{(1,2,0),(0,1,2)\}$ 的所有实系数线性组合得到的向量组成的子集。
\item 线性方程 $x+y+z=0$ 的解向量组成的子集。
\item 子集 $\{(x,y,z)\mid x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0\}$. %不是
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(d). 
 这个子集在负实数与向量的数乘运算下，结果不落在这个子集里。

}

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\item %3
下述哪个向量组不是向量组 $\{\alpha_1=(1,1,1),\alpha_2=(1,1,2),\alpha_3=(2,2,1),\alpha_4=(2,2,2)\}$ 的极大线性无关组？
\begin{enumerate}
\item $\{\alpha_1,\alpha_2\}$. 
\item $\{\alpha_1,\alpha_3\}$. 
\item $\{\alpha_1,\alpha_4\}$. %不是
\item $\{\alpha_2,\alpha_3\}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c).
 这个选项的向量组是线性相关的。

}

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\item %4
设向量空间 $V$ 的两个子空间 $W_1$ 与 $W_2$ 的维数分别是 5 与 7, 设它们的交子空间 $W_1\cap W_2$ 的维数是 3, 那么它们的和子空间 $W_1+W_2$ 的维数是多少？ 
\begin{enumerate}
\item 8.
\item 9. %正确
\item 10.
\item 12.
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(b).
 由维数公式即得: $5+7-3=9$. 

}

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\item %5
设二维向量空间 $V$ 的一个基 $\Phi=\{\alpha_1,\alpha_2\}$, 记 $\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$, $\beta_2=\alpha_1+2\alpha_2$, 
则向量组 $\Psi=\{\beta_1,\beta_2\}$ 也是 $V$ 的一个基。记 $A$ 是从基 $\Phi$ 到基 $\Psi$ 的过渡矩阵。则这个矩阵的所有元素的和等于多少？
\begin{enumerate}
\item 1.
\item 3.
\item 5. %正确
\item 7.
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c).
 由第二个基的定义，可以写出 
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} \beta_1 & \beta_2 \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix},
\end{eqnarray*}
根据过渡矩阵的定义，矩阵 $A$ 的四个元素的和等于5.

}


%\newpage

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\item %6
考虑矩阵 $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1& 0 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$, 
下述说法中，不正确的是哪个？
\begin{enumerate}
\item 这个矩阵的行空间是 $\mathbb{R}^4$ 的一个二维子空间。 
\item 这个矩阵的列空间是 $\mathbb{R}^3$ 的一个二维子空间。
\item 齐次线性方程组 $AX=0$ 的每个基础解系都正好包含 2 个向量。
\item 对任意三维列向量 $\beta$, 非齐次线性方程组 $AX=\beta$ 的解集总是非空的。 %不正确
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(d).
 系数矩阵 $A$ 的秩等于2，但是增广矩阵 $(A,\beta)$ 的秩可能等于3，这时非齐次线性方程组 $AX=\beta$ 的解集就是空集了。

}

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\item %7
设 $V=M_2(\mathbb{R})$ 表示所有2阶实数矩阵全体组成的向量空间。设 $A,B$ 是给定的两个2阶实数矩阵。
下述哪个不是 $V$ 到自身的线性变换？
\begin{enumerate}
\item $\sigma(X)=AX$.
\item $\sigma(X)=AX+XB$.
\item $\sigma(X)=X^tAX$. %不是
\item $\sigma(X)=AXB$.
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c).
 这个变换不保持线性运算。

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %8
设 $V=\mathbb{R}[x]$ 是实系数多项式全体组成的向量空间。设变换 $\sigma:V\to V$ 由 $\sigma(f(x))=xf'(x) - 2f(x)$ 定义。
下述说法中，不正确的是哪个？
\begin{enumerate}
\item 这个变换 $\sigma$ 是一个线性变换。
\item 线性变换 $\sigma$ 的核空间是零子空间。%不正确
\item 多项式 $f(x)=x$ 是线性变换 $\sigma^2$ 的一个特征向量。
\item 次数小于等于 $n$ 的多项式全体与零多项式组成的子集是线性变换 $\sigma$ 的不变子空间。
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(b)
设 $\sigma(f(x))=xf'(x) - 2f(x)=0$, 可以解得 $f(x)=kx^2$, 其中 $k$ 是任意实数。因此线性变换 $\sigma$ 的核子空间是1维的。

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %9
设 $V=\mathbb{R}^2$ 是二维列向量空间。设线性变换 $\sigma\in L(V)$ 关于基 $\{\alpha_1=(1,1)^t,\alpha_2=(1,-1)^t\}$ 的矩阵为 
$A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$. 设 $\sigma$ 关于标准基 $\{e_1=(1,0)^t,e_2=(0,1)^t\}$ 的矩阵是 $B$, 则矩阵 $B$ 的四个元素的和等于多少？
\begin{enumerate}
\item 2.
\item 4. %正确
\item 6.
\item 8.
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(b).
矩阵 $B$ 是下述最后的式子的右边的三个矩阵的乘积。
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} e_1 & e_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \\
\begin{pmatrix} \sigma(\alpha_1) & \sigma(\alpha_2) \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \\
\begin{pmatrix} \sigma(e_1) & \sigma(e_2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} &=& 
\begin{pmatrix} e_1 & e_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \\
\begin{pmatrix} \sigma(e_1) & \sigma(e_2) \end{pmatrix}  &=& \begin{pmatrix} e_1 & e_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}^{-1}, \\
B &=& \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %10
设有线性变换 $\sigma\in L(V)$, 设 $W$ 是 $\sigma$ 的不变子空间。下述说法中，不正确的是哪个？
\begin{enumerate}
\item 对任意 $\alpha\in W$, 都有 $\sigma(\alpha)\in W$. 
\item 对任意 $\alpha,\beta\in W$, 都有 $\alpha+\beta\in W$. 
\item 子空间 $W$ 也是线性变换 $\sigma^2$ 的不变子空间。
\item 子空间 $W$ 的余子空间也是 $\sigma$ 的不变子空间。%不正确
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(d). 
余子空间可能不是 $\sigma$ 的不变子空间。例如 $V=\mathbb{R}^2$, 设 $\sigma$ 在标准基下的矩阵是上三角阵，例如设
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} \sigma(e_1) & \sigma(e_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e_1 & e_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \\
\end{eqnarray*}
则 $W=L(e_1)$ 是 $\sigma$ 的不变子空间，但是 $W$ 的一个余子空间 $U=L(e_2)$, 因为 $\sigma(e_2)=e_1+2e_2\notin U$, 所以它不是 $\sigma$ 的不变子空间。
注：$W$ 的余子空间由无穷多个。
}


%\newpage

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\item %11
设矩阵 $A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 9 \end{pmatrix}$, 这个矩阵的两个特征值的和等于多少？
\begin{enumerate}
\item 10.
\item 11. %正确
\item 12.
\item 13.
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(b).
由特征值的定义，通过下述计算可知两个特征值分别为 5 和 6.
\begin{eqnarray*}
|\lambda E-A| = \begin{vmatrix} \lambda-2 & -3 \\ 4 & \lambda-9 \end{vmatrix} = (\lambda-2)(\lambda-9)+12=\lambda^2-11\lambda+30=(\lambda-5)(\lambda-6).
\end{eqnarray*}

}

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\item %12
如果 $n$ 阶实数矩阵 $A$ 在实数范围内相似于对角阵，那么下述四个结论中，不一定总是成立的是哪个？
\begin{enumerate}
\item 这个矩阵有 $n$ 个互不相同的特征值。%不正确
\item 这个矩阵有 $n$ 个特征向量，组成一个线性无关的向量组。
\item 这个矩阵的每个特征值在特征多项式里的重数总是等于它的特征子空间的维数。
\item 这个矩阵的特征多项式能在实数范围内分解成 $n$ 个一次因式的乘积。
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(a). 
 矩阵相似于对角阵，特征值可以有相同的，例如数量矩阵 $kE$. 

}

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\item %13
设 $V=\mathbb{R}^2$, 设内积定义为 $\langle (x_1,x_2),(y_1,y_2)\rangle=x_1y_1+x_2y_2$, 则 $V$ 与这个内积构成一个欧氏空间。
设一个基为 $\{\alpha_1=(1,-1), \alpha_2=(1,1)\}$, 内积在这个基下的度量矩阵定义为 
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} 
\langle \alpha_1,\alpha_1\rangle  & \langle \alpha_1,\alpha_2\rangle \\
\langle \alpha_2,\alpha_1\rangle  & \langle \alpha_2,\alpha_2\rangle
 \end{pmatrix}. 
 \end{eqnarray*}
则这个矩阵的行列式的值等于多少？
\begin{enumerate}
\item 2.
\item 4. %正确
\item 6.
\item 8.
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(b).
直接计算，可得度量矩阵为 $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, 因此行列式的值等于4. 

}

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\item %14
在欧氏空间 $V=\mathbb{R}^3$ 中，向量 $\alpha=(4,7,8)$ 在向量 $\beta=(1,2,3)$ 生成的子空间里的投影向量是下述哪个向量？
\begin{enumerate}
\item $(1,2,3)$.
\item $(2,4,6)$.
\item $(3,6,9)$. %正确
\item $(4,8,12)$.
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c). 
设投影向量为 $t\beta=(t,2t,3t)$, 由 $(\alpha-t\beta) \perp \beta$ 可得 $t=3$. 


}

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\item %15
设 $V=C[-1,1]$ 是区间 $[-1,1]$ 上的连续实值函数全体组成的实向量空间，设内积定义为 
\begin{eqnarray*}
\langle f(x),g(x)\rangle = \int_{-1}^{1} f(x)g(x)dx.
\end{eqnarray*} 
则向量 $x^2$ 在常数函数全体组成的子空间 $L(1)$ 里的投影向量是下述哪一个？
\begin{enumerate}
\item 1.
\item 1/2.
\item 1/3. %正确
\item 1/4.
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c). 
设投影是 $k$. 则有 $(x^2-k) \perp k$, 根据内积定义，有下述计算，得到 $k=1/3$. 
\begin{eqnarray*}
\langle x^2-k, k\rangle = \int_{-1}^{1} (x^2-k)kdx=0.
\end{eqnarray*} 

}


%\newpage

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\item %16
设矩阵 $A=\begin{pmatrix} 14 & -2 \\ -2 & 11 \end{pmatrix}$, 求正交矩阵 $U$ 使 $U^tAU$ 成为对角阵。下述说法中，不正确的是哪个？
\begin{enumerate}
\item 矩阵 $A$ 的两个特征值分别是 10 和 15.
\item 矩阵 $A$ 的两个特征子空间分别是 $L((1,2)^t)$ 和 $L(-2,1)^t$.
\item 正交矩阵 $U$ 的两个列向量分别为单位长度的特征向量。
\item 给定特征值的顺序之后，这样的正交矩阵 $U$ 是唯一确定的。%不正确
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(d). 
对每个特征值，如果特征子空间是1维的，那么单位长度的特征向量有两个选择；如果特征子空间是高于1维的，那么它的规范正交基有无穷多种选择。因此使得 $U^tAU$ 为对角阵的正交矩阵 $U$ 不是唯一确定的。

}

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\item %17
设二次型 $x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 + 4x_1x_2 - 2x_1x_3 + 6x_2x_3$ 对应的对称阵是 $A$, 则这个矩阵的所有元素的和等于多少？
\begin{enumerate}
\item 5.
\item 7.
\item 9. % 正确。
\item 11.
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c). 
将二次型写成 $X^tAX$ 的形式，可得对应的对称阵是
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} 1&2&-1 \\ 2&1&3 \\ -1&3&-1 \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}

}

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\item %18
实二次型 $x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 + 4x_1x_2 - 2x_1x_3 + 6x_2x_3$ 的正、负惯性指数分别是多少？
\begin{enumerate}
\item 0, 3.
\item 1, 2. 
\item 2, 1. %正确
\item 3, 0.
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c). 
 对二次型相应的对称矩阵进行合同变换，可得实数范围内的标准形，
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} 1&2&-1 \\ 2&1&3 \\ -1&3&-1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&-1\end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}

}

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\item %19
计算对称矩阵 $\begin{pmatrix} 1&2&0 \\ 2&5&3 \\ 0&3&7 \end{pmatrix}$ 的一阶、二阶、和三阶顺序主子式的值，并判断这个矩阵是否正定。
\begin{enumerate}
\item $1, 5, 7$, 是正定的。
\item $1, 5, 7$, 不是正定的。
\item $1, 1, -2$, 是正定的。
\item $1, 1, -2$, 不是正定的。%正确
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(d). 
 三个顺序主子式分别是
\begin{eqnarray*}
1,\hspace{0.3cm} \begin{vmatrix} 1&2 \\ 2&5 \end{vmatrix}=1, \hspace{0.3cm} \begin{vmatrix} 1&2&0 \\ 2&5&3 \\ 0&3&7 \end{vmatrix} = -2. 
\end{eqnarray*}
因为不全为正，所以这个对称矩阵不是正定的。

}

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\item %20
考虑由方程 $29x^2+21y^2-6xy=56$ 所定义的平面曲线。记对称矩阵 $A=\begin{pmatrix} 29&-3 \\ -3&21 \end{pmatrix}$, 求得特征值为 $20$ 和 $30$, 相应的特征子空间为 $L((1,3)^t)$ 和 $L((-3,1)^t)$. 于是记矩阵 $P=\frac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} 1&-3 \\ 3&1 \end{pmatrix}$, 则有 $P^tAP=\begin{pmatrix} 20&0 \\ 0&30 \end{pmatrix}$. 记变量代换  $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$.
下述说法中，不正确的是哪个？
\begin{enumerate}
\item 这个矩阵 $P$ 是正交矩阵。
\item 变量代换之后，这个平面曲线的方程是 $u^2/20+v^2/30=56$. %不正确
\item 这个平面曲线的主轴分别是 $L((1,3)^t)$ 和 $L((-3,1)^t)$.
\item 这个平面曲线是一个椭圆。
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(b). 
变量代换之后，这个平面曲线的方程是 $20u^2+30v^2=56$. 

}


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\end{enumerate}



\end{document}





